Patrick Reichert

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Publikationen

Bestimmung von Weil-Funktionen auf elliptischen Kurven (Juli 2016)

Beschreibung: Für n ∈ {4, ..., 10, 12} wird für jede elliptische Kurve (E, O) mit n-Torsionspunkt P = (0,0) ∈ E die Gleichung der Weil-Funktion bestimmt, also der meromorphen Funktion f:E → C ∪ {∞} mit Divisor n[P]-n[O]. Die berechneten Funktionen werden mit Hilfe der charakteristischen Eigenschaft f(Q) f(-Q) = (-1)n xn für alle Punkte Q=(x,y) ∈ E zusätzlich verifiziert.

Stichworte: Elliptische Kurven, Torsionspunkt, Weil-Funktion, Divisor, Miller-Algorithmus, SAGE

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Eine rationale und eine elliptische Kurve für A5 (März 2016)

Beschreibung: Für die zwei Beispiele Δ(3,3,5) → A5 und Δ(3,5,5) → A5 werden die Gleichungen der Riemannschen Flächen vom Geschlecht 0 und 1 und zugehörige Belyi-Funktionen bestimmt.

Stichworte: Dreiecksgruppe, elliptische Kurve, Riemann-Hurwitz-Theorem

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Diplomarbeit: Alternierende Faktorgruppen Fuchsscher Dreiecksgruppen (Dezember 2003)

Beschreibung: Diese Diplomarbeit behandelt eine Fragestellung aus einem Arbeitsgebiet, das erst in den letzten zwanzig Jahren entstanden ist und Querverbindungen zwischen Begriffen wie Uniformisierungstheorie, Fuchssche Gruppen, Riemannsche Flächen, Grothendiecks Dessins d'enfants (Kinderzeichnungen), Teichmüllerräume und sogar Inverse Galoistheorie herstellt.
Herausgegriffen wurde ein Problem, für welches Prof. J. Wolfart von der Johann-Wolfgang-Goethe-Universität Frankfurt/M. im Herbst 2001 meine Aufmerksamkeit weckte. Es sollte die Fragestellung untersucht werden, welche Fuchsschen Dreiecksgruppen alternierende Faktorgruppen besitzen.
Dabei stellte sich recht schnell heraus, dass die Untersuchungen in der Literatur zu dieser Fragestellung bisher vor allem Existenzaussagen lieferten, die für jede Fuchssche Gruppe beispielsweise die Existenz einer Schranke N garantieren, so dass für alle n > N stets ein Epimorphismus in die alternierende Gruppe An existiert.
Ganz außer Acht gelassen wurden dabei meist kleine Beispiele und weiterführende Fragestellungen dazu. In dieser Diplomarbeit werden Methoden entwickelt, die es erlauben, in Fuchsschen Dreiecksgruppen effizient zu rechnen. Weiterhin wird am Beispiel einer konkreten Dreiecksgruppe gezeigt, wie entschieden werden kann, ob die Kerne von Epimorphismen in dieselbe alternierende Gruppe in der Gruppe PSL(2, R) zueinander konjugiert sind. Diese Aufgabenstellung korrespondiert also mit dem Wunsch, zueinander nicht isomorphe Riemannsche Flächen mit derselben alternierenden Automorphismengruppe zu finden, die einen vorgegebenen Verzweigungstyp besitzen.
Im ersten Kapitel wird eine Einführung in diese Fragestellungen gegeben, außerdem ist eine ausführliche Literatursicht angefügt. Das zweite Kapitel zeigt allgemeine Eigenschaften der alternierenden Gruppen auf, die anschließend zur Entwicklung von Methoden verwendet werden, alternierende Faktorgruppen für eine vorgegebene Dreiecksgruppe zu finden.
Das dritte Kapitel ist das umfangreichste. Es wird eine Darstellung von Dreiecksgruppenelementen hergeleitet, die es ermöglicht, effizient Berechnungen auf dem Computer durchführen zu können. Im vierten Kapitel wird das Hauptresultat dieser Ausarbeitung bewiesen. Es wird die Existenz von zwei zueinander nicht isomorphen Riemannschen Flächen gezeigt, die beide mit Hilfe von Normalteilern der (3,5,5)-Dreiecksgruppe erzeugt werden und dieselbe Automorphismengruppe A5 besitzen.

Stichworte: Hyperbolische Geometrie, Arithmetische Dreiecksgruppen

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Beweis eines Satzes über algebraische Zahlen (April 1996)

Beschreibung: Diese Facharbeit wurde in der zehnten Klasse im April 1996 am Georg-Cantor-Gymnasium Halle eingereicht. Das Hauptresultat der Arbeit ist: Wenn cos x algebraisch ist, dann ist auch cos (rx) algebraisch für alle rationalen r.

Stichworte: Eigenschaften algebraischer Zahlen, Formel von Moivre

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